『√の分数って』

有理化する場合は、分子にも、√~をかけますが、整数と根号を含む数は、どうかければ良いのですか?

TTKさん 2022年07月15日(金) 17:15
文理キャラクター文理担当者からの回答

TTKさん、ご質問ありがとうございます。
数学の中の人です。
(※以下の回答、分数の部分が少し見づらくてすみません、、、)
 
「整数と根号を含む数」の分数についての、分母の有理化は、たしかに書籍で直接扱っていませんね。
ここでは一つ、具体的な問題を取り扱って、質問に回答したいと思います。
 
たとえば、以下のような、分母と分子両方で、整数と根号を含む数について、分母を有理化してみましょう。

5√7
3√2

 
まず簡単におさらいすると、「5√7」とは、「5×√7」のことで、「3√2」とは、「3×√2」のことなので、

5√7
3√2
=
5×√7
3×√2

となります。分母の「3」が整数の部分、「√2」が根号の部分です。
「分母を有理化する」とは、簡単にいえば、「分母の√を消す」ということなので、
一旦分子や、分母の整数部分は無視して、分母の根号部分「√2」のみに注目しましょう。
 
書籍42ページの「ふりカエル」に書かれているとおり、
分母の有理化は、「分母と分子に同じ数をかける」ことで行います。
なので、分母の根号部分「√2」を消すために、分母と分子の両方に「√2」をかけましょう。
※分母の整数部分を含む「3√2」をかけても構いませんが、計算が複雑になります。
 計算を簡単にするために、なるべく小さな数を分母と分子にかけましょう。
 

5√7
3√2

=
5×√7
3×√2

=
5×√7×√2
3×√2×√2
(分母と分子に√2をかけた)
=
5×(√7×√2)
3×(√2×√2)
(根号同士をかけ算する。やり方は書籍38ページを参照)
=
5×√14
3×2

=
5√14
6

 
これ以上通分ができないので、
5√14
6
が答えとなります。
 
このように、分母と分子に同じ数をかけるというやり方を徹底すれば、どんな分数でも分母を有理化することができます。
もう一問例題をのせておくので、もしお時間があれば取り組んでみましょう。
答えは、ページの下のほうにのせておきます。
 
(問)

9√7
2√3
の分母を有理化しましょう。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(式)

9√7
2√3

=
9√7×√3
2√3×√3

=
9√21
2×3

=
9√21
6

=
3√21
2
(※通分を忘れずに!)
 
(答)
3√21
2

 
 
(イジワルな発展問題。以下の式の分母を有理化してみましょう)

1
2 + √3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(式)

1
2 + √3

=
1 × (2 – √3)
(2 + √3) × (2 – √3)

=
2 – √3
4 – 3
 (※乗法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 を利用)
=
2 – √3
1

=2 – √3
 
(答)2 – √3

2022年07月19日(火) 11:31