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Reply To: 乗法公式

#1780
gu_kaeru
Keymaster

みっちーさん、ご質問ありがとうございます。
文理の数学の中の人です。
 
乗法公式は、種類もたくさんあるので覚えにくいですね。
何がオススメのやり方は人によって違うので、あくまで私のオススメのやり方を2つご紹介できればと思います。
 
 
【1】公式を1つだけ覚える
 
乗法公式として「ふりカエル」にのっているのは、以下の4つの式でした。
 
▼乗法公式おさらい
①(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab
②(x+a)2 = x2 + 2ax + a2
③(x-a)2 = x2 – 2ax + a2
④(x+a)(x-a) = x2 – a2

 
もしも「4つも式を暗記するのはたいへん!」ということでしたら、
①の式のみを暗記するようにしましょう。
なぜなら、(極端な話をすれば、)公式①さえ覚えれば、公式②~④は覚える必要はないからです。
このことを、下の例を使って説明しましょう。
 
(例題1)
(x + 3)2
 
この例題は、公式②を使うことが多い問題です。
 ②の公式:
 (x+a)2 = x2 + 2ax + a2

公式②に「a = 3」をあてはめて、以下のように計算します。
(x + 3)2
= x2 + 2・3x + 32 ※公式②を利用
= x2 + 6x + 9
 
さて、ここで公式①を改めて確認しましょう。
 ①の公式:
 (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

①の公式は、通常はaとbが違う数のときに使う公式ですが、
aとbが同じ数でも利用できます。
今回の例題で言えば、「a = 3」「b = 3」をあてはめて、次のように計算ができます。
 
(x + 3)2
= (x + 3)(x + 3) ※「2」を使わずに式を書き直した
= x2 + (3+3)x + 3・3 ※公式①を利用
= x2 + 6x + 9
 
公式①と公式②のいずれを使っても、答えが同じになることが確認できました。
同様に、公式③を使う問題や公式④を使う問題でも、同じことが言えます。
 
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(例題2)
(x – 7)2

 
※公式③を使った解き方
(x – 7)2
= x2 – 2・7x + 72
= x2 -14x + 49
 
※公式①を使った解き方
(x – 7)2
= (x – 7)(x – 7)
= x2 + ((-7) + (-7))x + (-7)・(-7) ※符号に注意!
= x2 -14x + 49
 
 
(例題3)
(x + 9)(x – 9)

 
※公式④を使った解き方
(x + 9)(x – 9)
= x2 – 92
= x – 81
 
※公式①を使った解き方
(x + 9)(x – 9)
= x2 + (9 + (-9))x + 9・(-9)
= x2 + 0・x – 81
= x2 – 81
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
 
なぜこのようなことが起きるかというと、
公式②~④は、公式①をもとに作られた公式だからです。
もちろん、式の種類によっては、公式②~④を使ったほうが早く計算ができますが、
「覚えなきゃいけない公式が4つから1つになる」と考えるだけで、だいぶ気が楽になるかと思います。
 
 
 
【2】分配法則だけ覚えておく
 
これまでの解説を読んで、もし、
「公式なんて1つも暗記したくない!」
と思った場合は…
公式①ですら覚えなくてよい方法があります。
乗法公式を使わずに、分配法則を利用して計算すれば良いのです。
  
▼おさらい分配法則(書籍6ページの「ふりカエル」参照)
(ア) a × (b+c) = ab + ac
(イ) (a+b) × c = ac + bc

 
実際に、先ほどの例題を分配法則を使って計算してみましょう。
 
(例題1)
(x + 3)2
= (x + 3)(x + 3)
= (x + 3)x + (x + 3)3 ※分配法則(ア)を利用
= x2 + 3x + 3x + 9 ※前項と後項それぞれで分配法則(イ)を利用
= x2 + 6x + 9
 
(例題2)
(x – 7)2
= (x – 7)(x – 7)
= (x – 7)x + (x – 7)(-7) ※分配法則(ア)を利用
= x2 -7x + (-7)x + (-7)(-7) ※前項と後項それぞれで分配法則(イ)を利用
= x2 -14x + 49
 
(例題3)
(x + 9)(x – 9)
= (x + 9)x + (x + 9)(-9)
= x2 + 9x + (-9)x + 9(-9)
= x2 – 81
 
 
分配法則は中学の計算のボスといえる、とっても重要な法則です。
上の式変形の仕組みがあやふやな場合は、しっかり復習しておきましょう。
 
※分配法則と乗法公式については、以下の回答でも解説しているので、よければご参照ください。
【展開について】
https://kaeru-study.bunri.jp/topic/%e5%b1%95%e9%96%8b%e3%81%ab%e3%81%a4%e3%81%84%e3%81%a6/
 
 
 
公式というのは、
 
「覚えておけば計算を早くできるもの」であって、
「覚えていないと計算ができないもの」ではありません。
 
「公式を忘れたっていいんだ。イチから計算すればいいんだから」
と思えば、だいぶ気楽になりませんか?
 
もちろん、実際のところ、くり返し問題演習を行うなかで、公式①~公式④もくり返し利用することで、
自然と公式①~④を覚えられますし、それが(計算スピード的な意味で)理想ではあります。
ただ、暗記内容に自信が持てなければ、
 
・公式①:(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab だけ覚える。
・分配法則だけ覚える。
 (ア) a × (b+c) = ab + ac
 (イ) (a+b) × c = ac + bc
をお試しください。
 
ご質問ありがとうございました。
また何かありましたら、この掲示板までお寄せください。